En la historia de la evolución de la Matemática, las SUCESIONES son tan antiguas como los números naturales. El establecimiento de un orden en los hermanos de una familia, en los días de la semana o en los datos de un registro implica la formación de distintas sucesiones que permiten analizar, representar y, en muchos casos, prever fenómenos que ocurren a través del tiempo.
BELLEZA y MATEMÁTICA
El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática.
Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia .... ¿Por qué no hacemos lo mismo?...
Observa el video
Leonardo de Pisa, Fibonacci, el mejor matemático del Siglo XIII, presento un problema cuya solución tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo y en otros tantos como observaste en el video...
El problema más famoso que aparece en el Liber Abaci es el siguiente:
En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos que acaban de nacer. Al cabo de dos meses, esta pareja está preparada para reproducirse. Produce cada mes una pareja de conejos que, al cabo de dos meses, está a su vez preparada para empezar a reproducirse, dando otra pareja cada mes. ¿Cuál es el número de parejas de conejos en la granja el día quince de cada mes del año?
Este problema da lugar a la llamada “sucesión de Fibonacci”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0 y 1 (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden: Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
| n | Término | Prueba |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
| 2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
| 3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Probamos la regla: 2n+1
| n | Término | Regla |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
| 2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
| 3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
an = 2n+1
a10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Formalizando el concepto de Sucesión
Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales o un subconjunto de éste y cuya imagen está incluida en el conjunto R de los números reales.
Cuando trabajamos con sucesiones, prestamos especial atención al número de orden nque le corresponde a cada una de las imágenes, y a éstas las llamamos términos de la sucesión.
Los términos de una sucesión siguen una “regularidad” o “ley” que las caracteriza, que se expresa algebraicamente mediante una fórmula a la que llamamos término general o término enésimo de la sucesión.
Observen en el siguiente ejemplo la notación que utilizamos para trabajar con sucesiones.
Consideremos la sucesión de término general an= 3n + 2
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SUCESIONES ESPECIALES
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
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SERIES
Paradoja de Zenón: Aquiles y la Tortuga
Zenón de Elea, filósofo griego del siglo V a.C., sorprendió a los matemáticos de su época con sus célebres paradojas. Ésta es una de ellas: Zenón sostenía que Aquiles, héroe de la mitología griega famoso por su velocidad en carreras jamás alcanzaría a una tortuga si le daba a esta una pequeña ventaja.
¿A qué llamamos Series?
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
En síntesis... ¿Qué es una serie?
Dada una sucesión de números reales (an ) se llama serie asociada a dicha sucesión a:
a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
ACTIVIDADES
Trabajo Práctico Nº 1: Series y Sucesiones
SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Trabajo Práctico Nº 2: Jugando con las sucesiones
EL RINCON DE LA SUCESIONES
Aclaración: En el sitio mencionan series y no sucesiones pero en realidad son sucesiones.
Trabajo Práctico Nº 3: Más sobre sucesiones
ACERCÁNDONOS AL INFINITO
Trabajo Práctico Nº 4: Actividades extras
SERIES Y SUCESIONES
1) JUEGO: FRACCIONES Y SUCESIONES
Galería Multimedia - Programa Conectar Igualdad
2) PROYECTO DESCARTES. TORRES DE HANOI
3) Test de inteligencia de RAVEN
