Límite de una sucesión
Idea intuitiva del límite de una sucesión
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
Idea intuitiva del límite de una sucesión
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
Ejemplo 1:
a1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.
Ejemplo 2:
a1= 0.5
a2= 0.6666....
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.Ejemplo 3:
a1= 5
a2= 7
a1000= 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.Límite finito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.
La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.
Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.
Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.
A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.
Límite infinito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.
El límite de la sucesión an= n2 es +∞.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.
a101= 1012 = 10 201
Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.
−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.
a101= −1012 = −10 201
TIPOS DE SUCESIONES
Sucesiones convergentes
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Límite = 0
Límite = 1
Sucesiones divergentes
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.
Límite = ∞
Sucesiones oscilantes
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.
1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...
Sucesiones alternadas
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
Convergentes
1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..
Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.
Divergentes
1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...
Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.
Oscilantes
−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto númeroK', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Ejemplos de sucesiones
Ejemplo 1: an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
- Es creciente.
- Está acotada inferiormente
- Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
- El mínimo es 1.
- No está acotada superiormente.
- Divergente
Ejemplo 2: bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
- Es decreciente.
- Está acotada superiormente
- Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
- El máximo es -1.
- No está acotada inferiormente.
- Divergente
Ejemplo 3: cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
- Es decreciente.
- Está acotada superiormente
- Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
- El máximo es 2.
- Está acotada inferiormente
- Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
- El ínfimo es 1.
- Convergente, límite = 1.
Ejemplo 4: dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
- No es monótona.
- No está acotada.
- No es convergente ni divergente.
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ACTIVIDAD:Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones 1) an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2) an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3) an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4) an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
EL NÚMERO e
, a veces conocido como número de Euler o constante de Napier es uno de los más importantes números reales. Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como 
lo es de la geometría y el número 
del análisis complejo.
Describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número, al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
Su valor aproximado (truncado) es:
≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
El número
, al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.Su valor aproximado (truncado) es:
≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
Con Calculadora: Pulsar
¿Cómo se relaciona el número e con las sucesiones?
Consideren la sucesión cuyo término general es
An = 
El segundo término ( 1 + 1/2 )2 es el área de un cuadrado.
El tercer término ( 1 + 1/3 )3 es el volumen de un cubo.
Los siguientes términos no son interpretables en nuestro angosto universo tridimensional.
Sus valores numéricos son:
Podemos observar que cada término calculado es mayor que los anteriores, el crecimiento es tan lento que es razonable pensar que la sucesión es CONVERGENTE.
Su LÍMITE es un número irracional... ¿De qué número se trata?
Comparen los términos de an hallados con el número e y enuncien una conclusión.
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Sus valores numéricos son:
a1 = 2
a2 = 1,52 = 2,25
a3 = (1,3333…)3 = 2,370370…
a4 = 1,254 = 2,441406…
a5 = 1,22 = 2,48832…
Se trata de una sucesión creciente ¿Será convergente? ¿Cómo calcular su límite?
Con ayuda de una calculadora científica, en tu carpeta, completen una tabla como la siguiente
an
=
|
an
= ….
|
|
a10
|
a10 = (1 + 1/10)10
|
a10 = …………….
|
a100
|
||
a1.000
|
||
a1.000.000
|
||
a10.000.000
|
Podemos observar que cada término calculado es mayor que los anteriores, el crecimiento es tan lento que es razonable pensar que la sucesión es CONVERGENTE.
Su LÍMITE es un número irracional... ¿De qué número se trata?
EL LÍMITE DE LA SUCESION ES EL NÚMERO .
ES EL NÚMERO .
ACTIVIDAD: Completen las siguientes tablas de valores con ayuda de la calculadora científica y hallen el límite de cada sucesión. Enunciar conclusiones.
