MATEMATICA FINANCIERA: SUCESIONES GEOMETRICAS

SUCESIONES Y SERIES GEOMETRICAS

Introducción

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Vamos a ver cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor.

Completa la tabla:

Nº de casilla	Nº de granos	Nº de granos (expresado como potencia)
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16
…	…	….
64

Como vemos, el número de granos que va en cada casilla constituye una sucesión de razón 2.

La lista de números que armaste con los granos de trigo que correspondían a cada casillero forman una sucesión geométrica, es decir, una progresión numérica tal que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un valor constante llamado razón.

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA ES UNA SUCESIÓN EN LA QUE CADA TÉRMINO SE OBTIENE MULTIPLICANDO AL ANTERIOR POR UNA CANTIDAD FIJA q,

LLAMADA RAZÓN.

La razón se obtiene con la siguiente fórmula:

Ejemplo: Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término.

Ejemplo: En la sucesión 3, 6, 12, 24, 48, ..

a_n = 3· 2^n-1 = 3· 2ⁿ · 2^-1 = (3/2)· 2ⁿ

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

Ejemplo:

a₄= 24, j=4 y r=2.

a_n = a₄ · r^n-4

a_n = 24· 2^n-4= (24/16)· 2ⁿ= (3/2) · 2ⁿ

SERIE GEOMÉTRICA

Volviendo al problema del ajedrez...

El número total de granos de trigo de la recompensa pedida por joven inventor del juego del ajedrez, es la suma de la siguiente sucesión, geométrica:

S= 1 + 2 + 2² + 2³ + ……… + 2ⁱ + …….. + 2⁶² + 2⁶³

Que también se puede poner como:

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ……… + 2ⁱ + …….. + 2⁶² + 2⁶³

Intenta, con calculadora resolver esta operación...

Como verás resulta difícil obtener el resultado de esta suma. El Rey deberá entregar 1,8446 x 10¹⁹ granos de trigo. Parece ser que un metro cúbico de trigo tiene unos quince millones de granos, es decir 1,5x10⁷ granos, con lo que el volumen que ocuparan los granos de la recompensa es:

(1,8446 x 10¹⁹)/(1,5 x 10⁷) = 1,2297 x 10¹² m3 .

Que es el volumen de un cubo de lado igual a 10.713 m (10,713 Km).

También parece ser que un grano de trigo pesa entre 0,032 gramos y 0,05 gramos, podemos tomar un valor medio, por ejemplo 0,04 gramos y sabiendo que 1 gramo equivale a 0,000001 toneladas, el peso de los granos de la recompensa es:

(1,8446 x 10¹⁹ )x(0,04)x1x10^-6 = 7,37 x 10¹¹ Toneladas métricas de trigo.

La producción actual mundial anual de trigo esta sobre las 650 millones de toneladas. Con lo cual:

(7,37 x 10¹¹)/(6,50 x 10⁸) = 1.135 años.

Se necesitarían del orden de 1.135 años de toda la producción mundial de trigo para pagarle al ajedrecista.

Existe una manera más sencilla de realizar estos cálculos...

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

operando se obtiene

Ejemplo: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Ejemplo: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Mira que fácil resolver el problema del ajedrez utilizando la fórmula, sabiendo que

a₁= 1, a₆₄= 2^{64 - 1} y q=2.

Veamos cómo se resuelven algunos ejemplos:

1) Calcular el cuarto término de una sucesión geométrica de primer término 2 y razón 1/3

Datos: a₁ = 2 q =1/3 n = 4

a_n = a₁ . q^n-1

a₄ = a₁ . q^4-1

a₄ = 2 .(1/3)³

a₄ = 2/27

2) Calcular la razón de una sucesión geométrica de sexto término 81/16 y cuarto término 9/4.
En esta ocasión no conocemos el primer término pero sí otros dos cualesquiera. En este caso, la cantidad de veces que aparece la razón en la diferencia entre la posición de esos términos. Vamos a intentarlo pero si no logras comprenderlo puedes volver a mirar la presentación de las sucesiones geométricas y hacerla en tu hoja un poco mas extensa.

Datos:

a₆ = 81/16 a₄ = 9/4 n = 6

Entonces,

a₆ = a₄ . q^6-4

81/16 = 9/4 . q²

81/16 : 9/4 = q²

9/4 = q²

3/2 = q

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