Una sucesión aritmética es una progresión numérica tal que cada término se obtiene sumando al anterior un valor constante, llamado razón. Veamos su desarrollo:
Luego, el término general de la sucesión aritmética (an)n de razón r es
Progresiones aritméticas. Término general
SUCESIONES ARITMÉTICAS
Una sucesión aritmética se construye sumando un valor fijo cada vez.
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos números consecutivos.
El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos números consecutivos.
El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
El patrón se sigue sumando 3 al último número cada vez.
FORMALIZANDO:
Se denomina SUCESIÓN ARITMÉTICA
a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene
sumando
al anterior un número constante "r" llamado
RAZÓN ARITMÉTICA
SUCESIONES ARITMÉTICAS
Una sucesión aritmética es una sucesión numérica en la cual cada término se obtiene sumando un valor constante, llamado diferencia, al término anterior.
 
Fórmula del término general de una sucesión aritmética
Despejen cada una de las variables en la fórmula del término general, y completen en sus carpetas:
 |
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
| 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...
Una sucesión aritmética es una progresión numérica tal que cada término se obtiene sumando al anterior un valor constante, llamado razón. Veamos su desarrollo:
Luego, el término general de la sucesión aritmética (an)n de razón r es
LA SUMA DE LOS PRIMEROS n TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN
ARITMÉTICA:
Consideremos una sucesión aritmética cuyos seis primeros términos son:
7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 ; 27
Podemos calcular la suma de estos términos haciendo:
Para sumar los primeros n términos de cualquier sucesión aritmética, podemos aplicar la siguiente fórmula:
Ejemplos resueltos de sucesiones aritméticas
Los cinco primeros términos de una sucesión de primer término a1 = 4 y razón r = 3 son:
(an)n = 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16
Y el término general es an = 4 + (n-1) . 3
Ejemplos
a) Calcula el noveno término de una sucesión aritmética de primer término 3 y razón ½
datos: a1 = 3
r = ½
n = 9
a9 = ¿
a9 = a1 + (9 – 1)r
a9 = 3 + 8 . ½
a9 = 3 + 4
a9 = 7
b) Calcula el décimo término de una sucesión aritmética de cuarto término 9 y razón 5
En este caso no conoces el primer término pero sí el cuarto, por lo que la expresión del término general sufre una pequeña pero lógica modificación y la cantidad de veces que aparece la razón, surge como diferencia de la posición de los términos conocidos en la sucesión. Veamos:
(an)n = 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16
Y el término general es an = 4 + (n-1) . 3
Ejemplos
a) Calcula el noveno término de una sucesión aritmética de primer término 3 y razón ½
datos: a1 = 3
r = ½
n = 9
a9 = ¿
a9 = a1 + (9 – 1)r
a9 = 3 + 8 . ½
a9 = 3 + 4
a9 = 7
b) Calcula el décimo término de una sucesión aritmética de cuarto término 9 y razón 5
En este caso no conoces el primer término pero sí el cuarto, por lo que la expresión del término general sufre una pequeña pero lógica modificación y la cantidad de veces que aparece la razón, surge como diferencia de la posición de los términos conocidos en la sucesión. Veamos:
Datos: a4 = 9
r = 5
n = 10
a10 = ¿
Entonces,
a10 = a4 + ( 10 – 4). 5
a10 = 9 + 6 . 5
a10 = 9 + 30
a10 = 39
a10 = a4 + ( 10 – 4). 5
a10 = 9 + 6 . 5
a10 = 9 + 30
a10 = 39
Interpolación de términos
La interpolación consiste en intercalar varios términos entre dos dados. Los términos hallados se llaman medios aritméticos.
Intercalar entre 2 y 14 tres números a, b, c de manera que los cinco números estén en progresión aritmética.
Datos: a1 = 2 a5 = 14 n = 5 progresión 2, a , b, c, 14
Calculamos la diferencia d aplicando la expresión del término general de una progresión aritmética.
a 5 = a1 +(n -1)d » 14 = 2 + (5 -1)d » 14 = 2 + 4d » d = 3
Sabiendo que d = 3 completamos la progresión » 2, 5, 8, 11, 14
Suma de n términos consecutivos
PROYECTO DESCARTES: SUCESIONES ARITMETICAS
